Summor av serier

7 Mar

Ibland vill man kunna räkna snabbt ut summan av en serie.

 

 

Annonser

Befolkningsmängden

6 Mar

Hurdan matematisk modell lämpar sig för att estimera jordens befolkning ?

Om vi hade 6,1 miljarder år 2001 och 6,9 miljarder år 2010 och antar att ökningen är exponentiell, vad blir då den genomsnittliga årliga tillväxten i procent ?  

Litet om Fibonacci serier

5 Mar

Hur räknar man ut de jämna termerna i serien ?

se tex min blogg

 

Vändagskort på den grafiska räknaren !!

23 Feb

På vändagen gjorde jag ett övningsarbete i distans- och nätundervisning på uni, och eftersom ämnet var ganska i barnaskorna vetenskapligt sätt – för att inte tala om i praktiken gjorde jag denna youtube ( därför på finska – sori – men man kan ju kolla videon ).

Härnäst kunde man integrera och söka kurvans area som kunde jämföras med enhetscirkelns. Om Amor skjuter en pil längs y=x som delar den slutna kurvan, vad blir då delarnas areor ? Detta är ett exempel på en sluten kurva som inte är konvex. Den kan dock liksom cirkeln delas i två kontinuerliga funktioner en övre och en undre. Men hur är det med deriverbarheten i punkkten x=0 ? Ja och hur lång är dess omkrets ? Och var är dess extremvärden ?

Kanske litet mera senare på min matteblogg.

http://www.youtube.com/watch?v=z1TUsZjyjsQ

yp

Ett nytt största kända primtal och perfekta tal

9 Feb

Den 25:te januari hittades ett nytt största kända primtal.

2^{57 885 161} - 1

talet har 17 miljoner siffror,

\lfloor(57 885 161\cdot lg(2)+1)=17 425 170

och det kan uttryckas som

femhundraåttioen domilliamillianongenquattuormilliacenquattuornonagintilliarder och ..

581 \cdot 10^{6\cdot (17 425 167/6)} = 581 \cdot (10^6)^{2 904 194.5}

Mersenne primtal är mycket ovanliga, det nu funna är först 48:de. Det föregående hittades 2009.

Övriga källor:
YLE

mersenne primtal

Vi prövar Geogebras CAS-räknare

1 Jan

Matteverkstaden – GeoGebra Dynamisk arbetsbok

Matteverkstaden

Vi löser ekvationssytemet
(A) x – a y – a² z = a³
(B) x – b y – b² z = b³
(C) x – c y – c² z = c³

Detta är en Java Applet skapad med GeoGebra från http://www.geogebra.org – det verkar som om du inte har Java installerat på din dator, vänligen besök http://www.java.com

This is a Java Applet created using GeoGebra from http://www.geogebra.org – it looks like you don’t have Java installed, please go to http://www.java.com

Här animeras fallet b=c så att parametrarna a och b får variera mellan -5 och 5 och
vi har eliminerat z ur ekvationen och vi ser projektionen av lösningslinjen
på xy-planet.

b² (A) – a² (B) ⇒
(b² – a² ) x + (-b²a + a²b) y = b²a³ – a²b³ | div (a-b)≠0
(b – a)(b+a) x – ab (b-a) y = b²a²(a-b) | div (a-b)≠0
-(b+a) x + ab y = a²b²
y = (1/a+1/b) x +ab, a≠b

Edward Krogius, 2 Januari 2013, Skapat med GeoGebra

var ggbApplet = document.ggbApplet;
function ggbOnInit() {}

Polynom och gyllene snittet

20 Dec

Inflektionspunkterna på fjärde gradens polynom

och det gyllene snittet

Lektor Leif Ekrem vid Brändö gymnasium uppmärksammade mig på följande intressanta fenomen i sin blogg. Dra en linje genom inflektionspunkterna på en funktion av fjärde graden och konstatera att den sträckan mellan inflektionspunkterna och sträckan från en inflektionspunkt till linjens och polynomfunktionens skärningspunkt föråller sig till varandra i samma proportion som det gyllene snittet.

Nu skall jag försöka räkna ut detta.

Ett fjärdegradspolynom kan skrivas som :

p(x) = m4x4 + m3x3 + m2x2 + m1x + m0.
 derivata p'(x) = 4m4x3 + 3m3x2 + 2m2x + m1
2dra derivata p”(x) = 12m4x2 + 6m3x + 2m2x

Här är en tabell över koefficienterna:

4: m4
3: m3
2: m2
1: m1
0: m0

Ett fjärdegradspolynom kan ha  inflektionspunter.  I dessa punkter byter kurvan mellan att vara (uppåt) konvex till konkav (eller tvärtom) dvs kurvans växthastighet byter riktning (mellan minskande och ökande).

Om ett fjärdegradspolynom har inflektionspunkterna a och b, där a < b, och en rät linje dras genom (a, P(a)) and (b, P(b)), kommer linjen att skära polynomets graf i två övriga punkter. Vi benämner dessa punkters abskissa (x-koordinat) som xL och xR (från engelskans left och right).

xL < a < b < xR.

Att lösa fjärdegradsekvationer kan bli ganska tungt, men här är en metod där man inte löser ekvationen utan bara jobbar med  faktorsatsen, derivata och det man vet om andragradsekvationer.

Eftersom vi vet att inflektionerna är rötter till andra deriatans nollställe kan vi skriva (P”(x) = 0) så här

P”(x) = 12m4(x – a)(x – b)= 12m4[x2 -(a+b)x + ab].

Polynomet P(x) kan nu fås genom två integrationer från p”(x) :

P'(x) = 12m4[(x3/3)-(a+b)(x2/2) + abx]+m1
P(x) = 12m4[(x4/4)/3-(a+b)(x3/3)/2+abx2/2]+m1x+m0
P(x) = 12m4x4/12 – 12m4(a+b)(x3/6)+12m4abx2/2+m1x+m0
P(x) = m4[x4  -2(a+b) x+6ab x2] +m1x +m0

Koefficienterna blir

4: m4
3: -2(a + b)m4
2: 6abm4
1: m1
0: m0

Den räta linjen L(x) genom inflektionspunkterna   (a, p(a)) and (b, p(b)) fås med tvåpunktsformeln.

y-P(a) = ((P(b)-P(a))(x-a)/(b-a)= k1x +k0

Skillnaden p(x) – L(x) är ett fjärdegradspolynom, vars nollställen är skärningspunkterna och som enligt faktorsatsen kan skrivas:

S(x)=P(x)-L(x) = m4(x-xL)(x-a)(x-b)(x-xR)=m4[x2 -(a+b)x + ab][x2 – (xL+xR)x + xLxR]
S(x) = m4[x4-(xL+xR)x3 +xLxx-(a+b) x3+(a+b)(xL+xR) x2 -(a+b)xLxx +ab x2 – ab(xL+xR)x + abxLxR]

med koefficienterna:

koeff.
xn:
S(x) P(x)-k1x-k0
x4: m4 m4
x3:  -(xL+xR+a+b)m4 -2(a+b)m4
x2:   +xLxR+(a+b)(xL+xR)+ab 
6abm4
x1:  -(a+b)xLx– ab(xL+xR)
m1-k1
x0:  abxLxR m0-k0

För skärningspunkterna gäller alltså:

x3    -(xL+xR+a+b)m4 = -2(a+b)m4    xL+xR=a+b
x2    (xLxR+(a+b)(xL+xR)+ab) m4 =6ab m  xLxR=5ab-(a+b)² 

 
The appearance of the Golden Ratio in (1) is nothing short of surprising. Mathematician are accustomed to finding the famous constant in unexpected circumstances, but every new discovery is a delight not only for the authors but the entire community as well. (1)-(4) are of course interrelated. Below, I tackle (1)-(5) with simple algebra and polynomial integration. The simplicity of the calculations may, if not shade light on the reasons for the appearance of the Golden Ratio, at least provide a natural formal explanation for its role in the current problem.

(1)
(2) a + b = xL + xR
(3)
(4)
(5) The areas of the three regions between the graphs of p(x) and L(x) are in proportion 1:2:1.

The applet helps grasp the situation. It displays a graph of a 4th degree polynomial whose coefficients are controlled by five sliders in the lower left corner of the applet. Each slider sports 3 draggable points: orange and red for 0 and 1, respectively. The locations of these dots define the origin and the unit of measurements for one specific axis. The blue dot then is associated with the value of a coefficient relative to the position of the origin and the unit.


This applet requires Sun’s Java VM 2 which your browser may perceive as a popup. Which it is not. If you want to see the applet work, visit Sun’s website at http://www.java.com/en/download/index.jsp, download and install Java VM and enjoy the applet.


Buy this applet
What if applet does not run?

First let’s see how (1) and (2) follow from (*). Since the roots of the 4th degree polynomial p(x) – L(x) are xL, a, b and xR,

p(x) – L(x) = m4(x – xL)(x – a)(x – b)(x – xR).

Thus the coefficients of p(x) – L(x) have the standard representation, viz.,

(**)
4: m4
3: -(a + b + xL + xR)m4
2: (ab + axL + axR + bxL + bxR + xLxR)m4
1: -(abxL + abxR + axLxR + bxLxR)m4
0: abxLxRm4

The comparison of coefficients by x3 in (*) and (**) shows (2). The comparison of the free coefficients (those by x0) shows that

(6) xLxR = -(a2 – 3ab + b2).

Together (2) and (6) assert that xL and xR are the roots of the quadratic equation

(7) x2 – (a + b)x – (a2 – 3ab + b2) = 0.

The quadratic formula applied to (7) gives (1) right away:

(1′) xL,R = ((a + b) ± (a – b)5)/2.

(3) and (4) are easy consequences of (1′), or (1), if you will.

Källa:

In an article published in the NCTM’s online magazine, I came across a curious property of 4th degree polynomials that, although simple, well may be a novel discovery by the article’s authors (but see also another article.)  Their research began with a suggestion for investigation of the inflection points of 4th degree polynomials from a 2002 issue of Mathematics Teacher, another NCTM publication.